Trinh Hương Đại
12/01/2020 7:43:46 PM

Tích Phân Hàm Ẩn

f'(x)^2 + 4f(x) = 8x^2

f(1)=1 tính tích phân của f(x) từ 1-3

 

Toán Học 2 câu trả lời 55 lượt xem

2 Câu trả lời

Lời giải
Nguyễn Minh Đạt Publisher, Mod đã trả lời 11:44 14-01-2020

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;3]$ thoả $f(1)=1$ và ${{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}.$ Giá trị $\displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng?

Lời giải:

Lấy tích phân hai vế trên đoạn $[0;1]$ ta có: $\displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+4\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{0}^{1}{8{{x}^{2}}dx}=\dfrac{8}{3}.$

Áp dụng tích phân từng phần ta được:

$\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}dx=xf(x)\left| \begin{gathered}\hfill 1 \\ \hfill 0 \\ \end{gathered} \right.-\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=1-\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}.$

Thay vào đẳng thức trên ta được

$\begin{gathered}\hfill \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-4\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}+4-\dfrac{8}{3}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\displaystyle\int_{0}^{1}{2x{f}'(x)dx}+\dfrac{4}{3}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\displaystyle\int_{0}^{1}{2x{f}'(x)dx}+\displaystyle\int_{0}^{1}{4{{x}^{2}}dx}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x)-2x \right)}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C \\ \hfill f(1)=1\Rightarrow 1=1+C\Leftrightarrow C=0 \\ \hfill \Rightarrow \displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{1}^{3}{{{x}^{2}}dx}=\dfrac{26}{3}. \\ \end{gathered}$

0
Lời giải
Nguyễn Minh Đạt Publisher, Mod đã trả lời 10:07 13-01-2020

Đề thiếu gì ko em; em phải cho biết hàm f liên tục trên đoạn nào!

1

Câu trả lời của bạn

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập

Không phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.