Câu hỏi đề thi

Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $6$ số nguyên $x$ thoả mãn

$\left( {{\log }_{2}}x-2 \right)\left( {{2}^{x}}-y \right)<0?$

Có bao nhiêu số nguyên $x$ sao cho ứng với mỗi $x$ có đúng $5$ số nguyên $y$ thoả mãn

$\left( {{2}^{x+1}}-{{2}^{{{(y+1)}^{2}}}} \right)\left( {{2}^{x-1}}-{{2}^{-{{(y-1)}^{2}}}} \right)\ge 0?$

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=2\sqrt{2}.$ Có bao nhiêu điểm $A(a;b;c),\left( a,b,c\in \mathbb{Z} \right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho từ $A$ kẻ được ba tiếp tuyến đến $(S)$ với các tiếp điểm là $B,C,D$ sao cho $ABCD$ là một tứ diện đều?

Trong không gian $Oxyz,$ cho điểm $M(2;2;0)$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=4.$ Các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $(S)$ nằm trên đường tròn có tâm $H(a;b;c).$ Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y+z=0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I(0;1;2)$ bán kính $R=1.$ Xét điểm $M$ thay đổi trên $(P).$ Khối nón $(N)$ có đỉnh là $I$ và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $(S).$ Khi $(N)$ có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình là $x+ay+bz+c=0.$ Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $(P):x+y+z=0$ và mặt cầu $(S):{{x}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=1.$ Xét điểm $M$ thay đổi trên $(P).$ Khối nón $(N)$ có đỉnh là $M$ và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ $M$ đến $(S).$ Khi $(N)$ có thể tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của $(N)$ có phương trình là $x+ay+bz+c=0.$ Giá trị của $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai mặt phẳng $(P):2x-y+2z-1=0;(Q):2x-y+2z+5=0.$ Có bao nhiêu điểm $A(a;b;c),\left( a,b,c\in \mathbb{Z},1\le a\le 10 \right)$ thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ để có vô số mặt cầu $(S)$ đi qua $A$ và tiếp xúc với hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)?$

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ có tọa độ các đỉnh $A\left( 1;1;1 \right),B\left( 2;0;2 \right),C\left( -1;-1;0 \right),D\left( 0;3;4 \right).$ Trên các cạnh $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ thỏa mãn $\dfrac{AB}{AM}+\dfrac{AC}{AN}+\dfrac{AD}{AP}=6.$ Viết phương trình mặt phẳng $\left( MNP \right)$, biết khối tứ diện $AMNP$ có thể tích nhỏ nhất.

Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn $\left( \sqrt{1+{{\ln }^{2}}a}\,\,+\ln a \right)\,\left( \sqrt{1+{{(a-3)}^{2}}}\,+a-3 \right)\le 1\,\,?$

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left| z \right|=2,\,\,\left| i\,w-2+5i \right|=1.$ Giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}^{2}}-\text{w}z-4 \right|$ bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới với \[f(1) = 0;f''\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = 0\] và$f\left( \dfrac{2}{3} \right)=\dfrac{20}{27}$. Biết hàm số $f(x)$ đạt cực trị tại hai điểm ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$thỏa mãn $3{{x}_{2}}-6{{x}_{1}}=3\sqrt{7}-2.$ Gọi ${{S}_{1}}$và ${{S}_{2}}$là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên dưới. Tỉ số $\dfrac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}$ thuộc khoảng nào dưới đây?

Có bao nhiêu số nguyên $a,(a\ge 2)$ sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn

$\ln \left( {{a}^{\log {{x}^{4}}}}+4{{a}^{\log {{x}^{2}}}}+4 \right)=\dfrac{\ln (x-2)}{\log a}?$

Cho hàm số $f(x)$, đồ thị của hàm số $y={f}'(x)$ là đường cong trong hình vẽ bên:Giá trị lớn nhất của hàm số $g(x)=12f(2x)+32{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-12x+2021$ trên đoạn $\left[ -\dfrac{3}{2};\,\,\dfrac{1}{2} \right]$ bằng

Cho hàm số bậc ba $f(x)$ thỏa mãn $f(0)=2$ và $f'(1)=0.$ Hàm số ${f}'(x)$ có bảng biến thiên như sau:Hàm số $g(x)=\left| {{\left( f\left| x \right| \right)}^{3}}-3{{\left( f\left| x \right| \right)}^{2}}-2021 \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;2021]$ thỏa mãn $f(2021)=g(2021)=0;$ $\dfrac{x}{{{(x+1)}^{2}}}g(x)+2020x=(x+1){f}'(x)$ và $\dfrac{{{x}^{3}}}{x+1}{g}'(x)+f(x)=2021{{x}^{2}}$ với mọi $x\in [1;2021].$ Tích phân $\int\limits_{1}^{2021}{\left[ \dfrac{x}{x+1}g(x)-\dfrac{x+1}{x}f(x) \right]dx}$ bằng

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm ${f}'\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right)=1$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=2$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{{f}'\left( \sqrt{x} \right)\text{d}x}$ bằng

Một khối nón có chiều cao bằng 12 , đặt trên đáy một hình trụ (các đáy của chúng nằm trên cùng một mặt phẳng, như hình vẽ bên dưới), biết đường kính đáy khối nón bằng bán kính đáy hình trụ. Hình trụ được đổ nước vào cho đến độ cao bằng 12. Độ cao của nước khi đã lấy khối nón ra ngoài hình trụ bằng

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$có độ dài cạnh bên bằng $a$ và diện tích đáy bằng ${{a}^{2}}$ (tham khảo hình bên dưới ). Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=81$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x-2y-z+9=0$. Tâm $H$ của đường tròn giao tuyến của $\left( S \right)$và $\left( \alpha \right)$nằm trên đường thẳng nào sau đây?

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|2z-\overline{z}|=\sqrt{13}$ và $(1+2i)z$ là số thuần ảo?